피타고라스 학파 사람들(기원전 6세기의 수학자 파타고라스의 추종자들)이 발견한 것처럼, 수 6은 매우 특별한 성질을 갖고 있답니다. 그것은 자신을 제외한 약수들의 합과 같다
6=1+2+3
6 다음으로 이러한 성질을 갖는 수는 28입니다. 28의 약수는 1, 2, 4, 7, 14와 그 자신인 28입니다. 그리고
28=1+2+4+7+14 가 성립합니다.
이와 같은 수를 피타고라스 학파 사람들은 완전수(perfect number)라고 이름을 붙였답니다.
즉, 자연수 n의 약수 중 n 자신을 제외한 약수의 합이 n 자신과 같게 될 때, n을 완전수라고 합니다.
그리고 약수의 합이 그 자신보다 큰 경우 우리는 이러한 수를 '초월수' 또는 '과잉수'라고 부릅니다.
이와 반대로 약수의 합이 그 자신보다 작은 경우 우리는 이 수를 '불완전수' 혹은 '부족수'라고 부릅니다.
예를 들면, 6의 약수 1, 2, 3, 6 가운데 6 자신을 제외한 1, 2, 3의 합계는 6이므로 6은 완전수입니다.
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6으로써(12 제외) 이들의 합은 16일 된다.
1+2+3+4+6=16
16 > 12
그러므로 12는 과잉수입니다.
10의 약수는 1, 2, 5로써(10 제외) 이들의 합은 8이 된다.
1+2+5=8
8 < 10
그러므로 10은 부족수가 된다.
이는 숫자가 사람의 운명에 영향을 미친다는 수령술적인 고찰에 의하여 생겨난 개념이지만 이러한 원리를 찾아보면 다분히 과학이 숨어있음을 발견할 수 있답니다.
그렇다면 무수한 '수' 중에서 완전수가 되는 것을 어떻게 찾을 수 있을까요?
그것은 결코 쉽지 않습니다.
무수한 수의 약수를 모두 더해서 구할 수는 없을 것이기 때문입니다.
결국 어떠한 법칙을 찾아내야 되는데 유클리드는 이미 기하학원본에서 “2n-1이 소수라면 2n-1(2n-1)은 완전수이다.”라고 정의하고 증명하였답니다.
소수는 결코 완전수가 되지 않는다는 것은 간단히 알 수 있다. 3의 약수는(자신을 제외하면) 1뿐이고, 5도, 7도, … 약수는 모두 1뿐이기 때문입니다.
소수의 제곱, 가령 32=9는 약수가 1과 3뿐이기 때문에 완전수가 아니다. 요컨데 소수는 몇 제곱을 하여도 완전수가 되지 않습니다.
유클리드는 이런 식으로 계속 따져서 2n-1(n은 2보다 큰 정수)이 소수이면, 2n-1×(2n-1)이 완전수가 된다는 것을 증명하였답니다.
이 공식에 의하여 셈하여 보면, n=2,3,5,7,13,17,19,31,61일 때,
2n-1은 각각 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305854009213693951인 데 이것들도 모두 소수입니다.
따라서 2n-1에 (2n-1)을 곱하여 다음과 같은 완전수를 얻을 수 있답니다.
즉,
6,
28,
496,
8128,
33550336,
8589869056,
137438691328,
2305843008139952128,
26584559915698317446542615953842176 등입니다.
완전수에는 재미있는 성질이 있답니다.
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+...+29+30+31
8128=1+2+3+...+125+126+127
즉, 완전수는 항상 연속되는 자연수의 합으로 표현 할 수 있습니다.
위의 완전수를 봅시다. 모두 짝수인가요? 아니면 홀수인가요?
모두 짝수이군요. 지금가지 38개의 완전수를 구했는데 모두 짝수라고 합니다.
완전수 중 6을 제외한 완전수들의 각 자리수를 더해 봅시다.
28 --- 2+8=10
496--- 4+9+6=19
8128--- 8+1+2+8=19
33550336--- 3+3+5+5+0+3+3+6=28
8589869058--- 8+5+8+9+8+6+9+0+5+8=64
137438691328---1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8=55
.....
위의 합을 9로 나누어 보세요.
나머지가 모두 1이란 사실이 보이나요?
또 다른 성질도 있답니다.
6을 제외한 완전수는 연속된 홀수의 세제곱의 합으로 되어 있답니다.
28= 1의3제곱 + 3의 3제곱
496= 1의 3제곱 + 3의3제곱 + 5의 3제곱 + 7의 3제곱
8128= 1부터 15까지 각 홀수들의 3제곱의 합이랍니다.
또 완전수들의 약수들의 역수의 합은 2가 된다는 것입니다.
예를 들면 6의 약수는 1,2,3,6입니다.
이것의 약수는 1/1, 1/2, 1/3, 1/6 입니다. 이들을 모두 더하면 2가되죠?
